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title: Notes on Multiplicative Inverse tags:

• GCD-LCM
• Multiplicative Inverse
• Note id: "915" categories:
• - OI
  • Number Theory date: 2017-07-01 18:20:58 ---

扩展欧几里得算法求$a$对模$b$的逆

当$(a, b)=1$时，有

$$ \exists x, y \in Z, \; ax+by=1 $$

扩展欧几里得算法证明如下：

设$a \gt b$。

当$b=0$时，有

$$ a \times 1+b \times 0=a=(a, b)=1 $$

此时$x=1, \; y=0$。

当$b \neq 0$时，有

$$ \left\{ \begin{align} a \times x_1+b \times y_1&=1 \\ b \times x_2+a \bmod b \times y_2&=1 \end{align} \right. $$

所以

$$ a \times x_1+b \times y_1=b \times x_2+a \bmod b \times y_2 $$

将$a \bmod b=a-a/b \times b$代入，得

$$ a \times x_1+b \times y_1=b \times x_2+a \times y_2-a/b \times b \times y_2 $$

那么$x_1=y_2, \; y_1=x_2-a/b \times y_2$。

由此得证。

void extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    int ret = extend_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}

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费马小定理求$a$对模$p$的逆

当$p$是质数且$p \nmid x$时，有

$$ x^{-1} \equiv x^{p-2} \pmod p $$

证明如下：

根据费马小定理，当$p$是质数时，有

$$ \forall x \in Z, \; x^p \equiv x \pmod p $$

当$p \nmid x$时，有

$$ \begin{align} x^{p-1} &\equiv 1 \pmod p \\ x^{-1} &\equiv x^{p-2} \pmod p \end{align} $$

由此得证。

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$O(n)$时间求出$1..n$对模$p$的逆

当$p$是质数且$1 \lt i \lt p$时，有

$$ i^{-1} \equiv (p-p/i) \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p $$

证明如下：

令$t=p/i, \; k=p \bmod i$。易知

$$ \begin{align} t \times i+k &\equiv 0 \pmod p \\ k &\equiv -t \times i \pmod p \end{align} $$

等式两边同时除以$ik$，得

$$ \begin{align} i^{-1} &\equiv -t \times k^{-1} \pmod p \\ i^{-1} &\equiv -p/i \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p \end{align} $$

即

$$ i^{-1} \equiv (p-p/i) \times (p \bmod i)^{-1} \pmod p $$

由此得证。

void get_inv() {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MOD; ++i) {
        inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
    }
}

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求$b \mid a$时${a \over b}$在模$n$意义下的值

当$b \mid a$时，有

$$ {a \over b} \bmod n=a \bmod (bn) / b $$

证明如下：

设

$$ {a \over b} \bmod n = x $$

则有

$$ \begin{align} {a \over b}&=kn+x \\ a&=kbn+bx \end{align} $$

因为$0 \le x \lt n$，所以

$$ \begin{align} a \bmod (bn)&=bx \\ x&=a \bmod (bn) / b \end{align} $$

由此得证。